微分方程应用 – Application of ODE

之前我们写了微分方程相关的内容，那么数学建模这种东西完全就只是应用的学科，所以我们写两个案例。

狗追兔子 – Dog Hunt Rabbit

假设在大平原上有一只野兔和一只猎狗,在某一时刻同时发现对方,野兔立即向洞穴跑去,而猎狗也立即向野兔追去,在追击过程中,双方均全力奔跑,即双方速度大小不变,方向可变,问:

(1) 若野兔始终沿直线向洞穴跑去,求猎狗的运动方程和轨迹;

(2) 若野兔始终沿直线向洞穴跑去,试确定猎狗的初始位置范围G,使得猎狗在这一范围内，总可以在兔子进洞前追上它;

(3) 若猎狗已处于问题(2)所述的范围G,则兔子在进洞前肯定会被追上,那么兔子是否可以采取曲线跑向洞穴(速度大小不变)而安全进入洞中?画出两者的运动轨迹;

(4) 若猎狗经过训练,追击时不是直接追向兔子,而是追向兔子的前方,试给出一种计算提前量的方法,并画出两者的运动轨迹.

 

这个很明显就是使用微分方程进行解决的问题，因为这里有各种变量，不过感觉使用其他的方法当然也未尝不可，比如我最爱的概率模型。但是由于是微分方程的应用，所以还是使用微分方程进行解决

假设在任意的时刻$t$，兔子$R$的位置是$(x_{r},y_{r})$,奔跑的方向与$x$轴的夹角为$\theta_{r}$,而狗$D$的位置是$(x_{d},y_{d})$，奔跑的方向是$D\to R$,假设$v_{r},v_{d}$分别是兔子和猎狗的速度，并且$\frac{v_{r}}{v_{d}}<1$，假设兔子$R$的初始位置是$(x_{r_{0}},y_{r_{o}})$，如下图所示

 

那么兔子在$t$时刻的位置满足

$$\begin{cases} x_{r} & =x_{r_{0}}+\int_{0}^{t}v_{r}\cos \theta_{r} dt \\ y_{r} & =y_{r_{0}}+\int_{0}^{t}v_{r}\sin \theta_{r} dt \end{cases}$$

而对于猎狗来说，如果记

$$\begin{cases}x_{d}’ & = \frac{v_{d}(x_{r} – x_{d})}{\sqrt{(x_{r}-x_{d})^{2}+(y_{r} – y_{d})^{2}}}\\ y_{d}’ & =\frac{v_{d}(y_{r} – y_{d})}{\sqrt{(x_{r}-x_{d})^{2}+(y_{r} – y_{d})^{2}}} \end{cases}$$

那么他的位置满足

$$\begin{cases} x_{d} & =x_{d_{0}}+\int_{0}^{t} x_{d}’ dt\\ y_{d} & =y_{r_{0}}+\int_{0}^{t}y_{d}’ dt \end{cases}$$

由于现在对于兔子的逃跑的方向具有不确定性，所以两个方程组都不存在解析解。

第一问 – Q1

现在来解决问题，第一问假设野兔始终按照直线向洞穴跑去。那么我们就可以简化问题为下面的这样

以兔子$R$的初始位置作为远点，其奔跑的方向为$y$轴，将其带入狗的运动之中，可以得到

$$\begin{cases}x_{d}’ & = \frac{v_{d}(x_{r} – x_{d})}{\sqrt{(x_{d})^{2}+(y_{r} – y_{d})^{2}}}\\ y_{d}’ & =\frac{v_{d}(y_{r} – y_{d})}{\sqrt{(x_{d})^{2}+(y_{r} – y_{d})^{2}}} \end{cases}$$

然后将他带到上面的那个狗的位置的方程之中

$$\begin{cases} x_{d} & =x_{d_{0}}+\int_{0}^{t} x_{d}’ dt\\ y_{d} & =y_{r_{0}}+\int_{0}^{t}y_{d}’ dt \end{cases}$$

就可以进行求解了。假设兔子的速度是1，而狗的速度是1.5

则在狗的初始位置分别是(5,15),(10,10),(15,5)的结果如上图所示。

第二问 : Q-2

可以想象,一定存在一个范围$T$，如果猎狗的初始位置在$T$内，猎狗就可以在兔子进洞之前追上他，如果猎狗的初始位置在$T$之外，猎狗就不能在兔子进洞之前追上他。现在就是求解$T$的范围

我们仍假定兔子的初始为原点,洞穴在y轴上，以$O$为原点，给出一组$\rho,\theta$,假设猎狗的初始的位置满足

$$\begin{cases}x_{d_0}’ & = \rho \cos \theta \\ y_{d_{0}}’ & = \rho \sin \theta \end{cases}$$

利用之前的方法，在确定$\theta$的情况下，模拟二者的运动，如果兔子成功安全进洞，那么就减小$\rho$如果猎狗追上兔子，那么我们就增加$\rho$。直到找到一组临界的$\rho ,\theta$的组合。那么对于每一个$\theta$都可以找一个对应的$\rho$的临界状态。

如果我们假设猎狗的追击的速度提升一下，假设是1.6米每秒，而兔子是1米每秒，其他的条件保持不变，那么猎狗的初始点如果在下面的这个范围之内就可以追上兔子

而如果改变一下猎狗的速度，很明显的这个圈的范围就会缩小，现在如果是以1.4米每秒的速度追击的话，其范围$T$的表示，在图中使用蓝色进行标记。

Q3 – 第三问

兔子采用曲线跑会不会有什么不同？这个感觉还是比较有意思的话题，那么这个曲线是什么呢？我们假设一开始往某一个地方跑然后再改方向？还是加高斯噪声？那么就假设跑一米，也就是一百次迭代后加一个高斯噪声的扰动，看看结果会不会有什么不同

这时候我们随机给兔子加上高斯噪声，而绿线是如果没有高斯噪声的情况，也就是在之前的情况之下的猎狗的追击的情况，可以发现再加了高斯噪声之后，猎狗就追不上兔子了，而在之前的情况之中，猎狗是可以在兔子进洞之前的最后一秒抓住他的。

Q4 -第四问

如果猎狗经过了训练的话，可以预判兔子的运动方向，我们怎么说这个预判呢？假定兔子刚准备变化下一步的运动的时候，猎狗就可以发现兔子的下一个运动的目的地了。那么猎狗的目标就不是兔子的当前的位置，而是兔子的下一个运动的目的地，此时的某一个结果如下

上图显示的结果是在第909次迭代时的结果，此时的抓住的坐标点(-0.058,9.007) 。需要注意的是，就算是猎狗经过了训练，也不能够保证每一次都抓的住随机奔跑的兔子，甚至在大部分的时间之中也是无法成功的抓住的。

而如果将兔子的变化方向的频率改成每10次就更改一次目的地的话，那么被抓住的可能性会更大，但是被抓住的时间点会靠后，个人推测可能是由于高频的方向变动不仅很难迷惑猎狗，同时使得兔子自己也被自己绕晕了，也就很难达到躲避捕食的宿命。如果是数学解释的话，可能是由于我加入扰动的方式是基于标准的正态分布，那么根据大数定律，我所加的这些随机数，在一定次数之后就相当于没有加入扰动，那么其结果就与一开始的情况下兔子直接向洞出发的情况类似，所以被抓住的时间点会靠后，而且被抓住的可能增加。

而关于其他的计算提前量的方法，可以每过20次迭代根据兔子在这20个迭代之中的运动的方向判断兔子接下来的运动方向，再基于这个运动方向和二者之间的距离进行调整，而不是像本文使用的方法，直接让狗知道兔子的下一步运动并让狗进行调整。